Lisa e Mario giocano a testa e croce lanciando una moneta. Lisa punta su testa, Mario su croce: che probabilità hanno di vincere?

La risposta è nota: ognuno dei due ha il 50% di probabilità di indovinare.

Ma cosa succede invece se Lisa e Mario scelgono 2 diverse sequenze di Testa e Croce?

Supponiamo che Lisa scommetta che, iniziando a lanciare una moneta facendo testa e croce, la prima sequenza ad uscire sia Testa-Croce-Testa (TCT) e Mario scommetta invece che sia Testa-Testa-Croce (TTC). Quale delle due combinazioni è più probabile?

Walter Penney e il gioco delle monete

A presentare per primo una riflessione matematica sulla probabilità legata a questo gioco fu nel 1969 Walter Penney, da cui il nome di “Gioco di Penney” con cui spesso viene presentato l’esercizio matematico di cui vi parliamo oggi, prendendo spunto da un delizioso libro del matematico Marco Codogno, “Matematica in pausa caffè”, pubblicato nel 2020 da Codice Edizioni.

Se ci si limita al lancio di una moneta 3 volte sia Lisa che Mario avranno la stessa probabilità di vedere la loro combinazione vincente: 1/8. Ma cosa succede se invece aspettiamo all’interno di una sequenza di lanci che una delle due combinazioni si verifichi?

Una verifica “pratica” del gioco di Penney

Per provare a rispondere a questa domanda possiamo iniziare a lanciare una moneta per un certo numero di volte e prendere nota ogni qual volta la combinazione che si manifesta per prima è quella di Lisa oppure quella di Mario.

Oppure, prima di passare alla riflessione matematica, possiamo provare ad utilizzare un piccolo programma informatico che ci permetta di velocizzare le nostre operazioni di test (è disponibile anche questa versione in Scretch)

Cosa potremmo scoprire testando in maniera pratica le varie combinazioni?

Consideriamo ad esempio l’output che può generare un programma che lancia a caso monete, dove testa e croce si possono simulare generando in maniera casuale i numeri tra 0 e 1.

Ad ogni lancio la sequenza andrà ad incrementarsi fino a trovare una delle due combinazioni in gioco.

Esempio

Lisa sceglie ‘TTT’, Mario sceglie ‘CTT’: chi vince? Il sistema inizierà a lanciare le monete e confrontare il risultato ottenuto con le due sequenze in gioco:

Copia negli & appunti

Il numero di lanci necessari può cambiare di giocata in giocata.

Se sperimentassimo le varie combinazioni e giocassimo per un numero molto alto di volte potremmo osservare come per qualsiasi scelta faccia per prima Lisa si può trovare una scelta migliore che farà vincere Mario con maggiore probabilità.

Un gioco non transitivo: cosa significa?

Come spiega Codogno nel suo libro questo è un gioco “non transitivo”. Gode cioè della stessa proprietà del gioco sasso-carta- forbici.  Il fatto che sasso vinca su forbici e forbici vinca su carta non implica che sasso vinca su carta.

Allo stesso modo non tutte le combinazioni di testa e croce, all’interno di una sequenza di più lanci hanno la stessa probabilità di verificarsi per prime: giocare la combinazione TTT farà sempre partire in svantaggio rispetto a qualsiasi altra combinazione.

Come rispondere ad una sfida con la tripletta migliore?

Data una tripletta di valori è addirittura possibile individuare quale sia tra le altre 7 combinazioni possibili quella che probabilmente si verificherà con più probabilità della prima tripletta scelta.

Il metodo è stato individuato da Barry Wolk dell’Università di Manitoba e funziona così:

Se A sceglie TTC, B aumenterà le sue probabilità di vincere prendendo il valore opposto a quello in mezzo della combinazione-  in questo caso T diventa C – come primo elemento della sua tripletta e andando a mettere come secondo e terzo valore il primo e il secondo valore della tripletta di A.

Quindi se A-> TTC allora B-> CTT, se A-> CTT allora B-> CCT ecc. ecc.

Le probabilità possono essere calcolate in vari metodi ( vi rinviamo alla fine di questo articolo ad alcuni articoli), che confermano la tabella che vi riportiamo in figura tratta da un articolo pubblicato nel 1974 da Martin Gardner su Scientific American. Come leggere la tabella? Se A sceglie TTH (ovvero Croce Croce Testa) allora se B sceglie come combinazione HHH ha 3 possibilità su 10 che la sua sequenza compaia prima di quella di A.

Tabella probabilità gioco di penney

[Fonte: Gardner, Martin. “MATHEMATICAL GAMES.” Scientific American, vol. 231, no. 4, 1974, pp. 120–125., www.jstor.org/stable/24950199. Accessed 16 Dec. 2020.]

Conclusioni

A cosa può servirci nella vita di ogni giorno conoscere questo piccolo gioco statistico? Il gioco di Penney è un utile esercizio per prestare la dovuta attenzione alla statistica e anche una buona occasione per riflettere su scommesse e giochi d’azzardo, dove non sempre è questione solo di fortuna! Essere i primi a scegliere una combinazione di monete o colori di carte, beh, potrebbe essere un trucco per farvi vincere il meno possibile…

Riferimenti utili

[Foto di copertina di Jordan Rowland on Unsplash]

Il gioco di Penney si presta ad essere utilizzato per esercitarsi con i linguaggi di programmazione. Ecco un esempio di codice scritto per Python.

Copia negli appunti